Question

17．已知双曲线$\frac{x^2}{m+2}$-$\frac{y^2}{m+1}$=1的离心率为$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，则m=2或-5．

Answer 1

分析 直接利用双曲线的方程，求出a，b，c利用离心率求解即可．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{m+2}$-$\frac{y^2}{m+1}$=1，
当焦点在x轴时，a²=m+2，b²=m+1，
可得c²=a²+b²=3+2m，
∵双曲线$\frac{x^2}{m+2}$-$\frac{y^2}{m+1}$=1的离心率为$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，
当焦点在y轴时，a²=-m-1，b²=-m-2，
可得c²=a²+b²=-3-2m，
∵双曲线$\frac{x^2}{m+2}$-$\frac{y^2}{m+1}$=1的离心率为$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，
可得$\frac{-3-2m}{-1-m}=\frac{7}{4}$，即12+8m=7m+7，可得m=-5．
故答案为：2或-5．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．