Question

5．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+$\frac{1}{2}$c=b．
（1）求A的大小；
（2）若a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理将原式转化成sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB，利用三角形的内角和为π及两角和的正弦求得cosA的值，根据A的取值范围，即可求得A的大小；
（2）由正弦定理及（1）可知：b=sinB，c=sinC，将b+c转化成$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），根据正弦函数图象及性质及B的取值范围，即可求得b+c的取值范围．

解答 解：（1）∵cosC+$\frac{1}{2}$c=b．
根据正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB，
在三角形中：A+B+C=π，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinAcosC+cosAsinC，
$\frac{1}{2}$sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
A=$\frac{π}{3}$；
（2）由正弦定理可知：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin\frac{π}{3}}$=1，
∴b=sinB，c=sinC，
∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜b+c≤$\sqrt{3}$，
∴b+c的取值范围．（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查正弦定理及三角恒等变形相结合，考查正弦函数的性质，考查综合分析问题及解决问题的能力，属于中档题．