Question

6．F是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦点，过F作某一渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于A，B两点，若$\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}=\frac{1}{2}$，则双曲线的离心率为$\frac{2}{3}\sqrt{3}$或2．

Answer 1

分析 运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=$\frac{π}{3}$，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到．

解答 解：当b＞a＞0时，由$\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}=\frac{1}{2}$，可知A为BF的中点，
由∠AOF=∠AOB=∠BOF'=60°，可得$\frac{|OA|}{|OB|}$=$\frac{1}{2}$，
则Rt△OAB中，∠AOB=$\frac{π}{3}$，
渐近线OB的斜率k=$\sqrt{3}$，
即离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+3}$=2．
同理当a＞b＞0时，可得e=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$；
故答案为：$\frac{2}{3}\sqrt{3}$或2．

点评 本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．