Question

14．已知△ABC的三边长分别为5，6，7，点O是△ABC三个内角的角平分线的交点．若BC=7，则点集{P|$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$，0≤x≤1，0≤y≤1}所表示的区域的面积为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{14\sqrt{6}}{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由题意可知，P表示的区域是以OB，OC为邻边的平行四边形，只要求出三角形ABC的内切圆半径即可求其面积．

解答 解：由题意可知，P表示的区域是以OB，OC为邻边的平行四边形，如图
cosA=$\frac{{5}^{2}+{6}^{2}-{7}^{2}}{2×5×6}=\frac{1}{5}$，所以sinA=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，所以三角形ABC的面积为$\frac{1}{2}AB×AC×sinA$=6$\sqrt{6}$，
设三角形的内切圆半径为r，则$\frac{1}{2}（5+6+7）r$=6$\sqrt{6}$，
解得r=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
所以平行四边形OBPC的面积为BC×r=7×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{14\sqrt{6}}{3}$；
故选B

点评 本题考查了余弦定理、三角形的面积公式以及动点集合区域面积的求法；关键是明确区域形状，结合余弦定理求三角形的内角，进一步求三角形的面积．