Question

13．桌面上放着3个半径为1的球，两两相切，在它们上方的空间里放入一个球使其顶点（最高处）恰好和3个球的顶点在同一个平面上，该球的半径为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 问题转化为摆放在桌面上的三个半径为1的球两两相切，在桌面与三球之间的空间中再摆入一个小球与三球和桌面都相切，我们可以分别设三个半径为1的球的球心分别为O₁，O₂，O₃，与桌面三个切点分别为A，B，C，构造一个正三棱柱，然后解三角形，即可得到答案．

解答 解：问题转化为摆放在桌面上的三个半径为1的球两两相切，在桌面与三球之间的空间中再摆入一个小球与三球和桌面都相切，
设三个半径为1的球的球心分别为O₁，O₂，O₃，与桌面三个切点分别为A，B，C，如下图所示：

则三棱柱ABC-O₁O₂O₃，是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱，
则小球球心O在底面ABC上的投影必为△ABC的中心H，
设小球半径为R，
在△AOH中，AO=R+1，AH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
则OH=$\sqrt{（R+1）^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$
又R+OH=1，解得R=$\frac{1}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是棱柱的结构特征，其中标出关键点，构造正三棱柱是解答本题的关键．