Question

2．已知两点A（-1，5），B（3，7），圆C以线段AB为直径．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：x+y-4=0与圆C相交于M，N两点，求弦MN的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心坐标、半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：x+y-4=0与圆C相交于M，N两点，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求弦MN的长．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得圆心C的坐标为（1，6），-----（2分）
直径$2r=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$．半径$r=\sqrt{5}$-----------（4分）
所以，圆C的方程为（x-1）²+（y-6）²=5．---------（5分）
（Ⅱ）设圆心C到直线l：x+y-4=0的距离为d，
则有$d=\frac{{|{1+6-4}|}}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\frac{3}{{\sqrt{2}}}$．------------------（8分）
由垂径定理和勾股定理，有${（{\frac{{|{MN}|}}{2}}）^2}={r^2}-{d^2}=5-\frac{9}{2}=\frac{1}{2}$．---（10分）
所以$\frac{{|{MN}|}}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$|{MN}|=\sqrt{2}$．--------（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查勾股定理的运用，属于中档题．