Question

已知，记点P的轨迹为E.

   （1）求轨迹E的方程；

   （2）设直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点，若无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为  （4分）

 

   （2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，

 

 

 

 

    解得k² >3

  

 

 

 

    ，

    故得对任意的

    恒成立，

 

    ∴当m =－1时，MP⊥MQ.

    当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，

    综上，当m =－1时，MP⊥MQ.                         （11分）

【解析】略