Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，求一组斜率为m的平行弦的中点的轨迹．

Answer 1

分析 设斜率为m的直线的方程为y=mx+d，从而联立方程化简可得（a²m²+b²）x²+2a²mdx+a²d²-a²b²=0，从而可得x₀=-$\frac{{a}^{2}md}{{a}^{2}{m}^{2}+{b}^{2}}$，y₀=$\frac{d{b}^{2}}{{a}^{2}{m}^{2}+{b}^{2}}$，从而确定轨迹．

解答 解：设斜率为m的直线的方程为y=mx+d，
与椭圆方程联立可得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=mx+d}\end{array}\right.$，
消y化简可得，
（a²m²+b²）x²+2a²mdx+a²d²-a²b²=0，
故当△＞0时，直线与椭圆有两个交点，
设交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），设弦的中点为（x₀，y₀），
故x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}md}{{a}^{2}{m}^{2}+{b}^{2}}$，y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2d
=-m$\frac{2{a}^{2}md}{{a}^{2}{m}^{2}+{b}^{2}}$+2d=$\frac{2d{b}^{2}}{{a}^{2}{m}^{2}+{b}^{2}}$，
x₀=-$\frac{{a}^{2}md}{{a}^{2}{m}^{2}+{b}^{2}}$，y₀=$\frac{d{b}^{2}}{{a}^{2}{m}^{2}+{b}^{2}}$，
故b²x₀+a²my₀=0，
故斜率为m的平行弦的中点的轨迹为直线b²x+a²my=0在椭圆内的部分．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及韦达定理的应用，属于中档题．