Question

3．如图，已知D点在⊙O直径BC的延长线上，DA切⊙O于A点，DE是∠ADB的平分线，交AC于F点，交AB于E点．
（Ⅰ）求∠AEF的度数；
（Ⅱ）若AB=AD，求$\frac{AD}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用弦切角定理、角平分线的性质证明∠AEF=∠AFE，由BC为⊙O的直径，结合圆周角定理的推论，可得∠AFE的度数；
（Ⅱ）证明△ACD∽△BAD，根据三角形相似的性质可得$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$，又由AB=AD，可得AD：BD=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．

解答 解：（Ⅰ）因为AC为⊙O的切线，所以∠B=∠DAC
因为DE是∠ADB的平分线，所以∠ADE=∠EDB
所以∠B+∠EDB=∠DAC+∠ADE，即∠AEF=∠AFE，
又因为BC为⊙O的直径，所以∠BAC=90°．所以∠AEF=$\frac{1}{2}$（180°-90°）=45°；
（Ⅱ）因为∠B=∠DAC，所以∠ADB=∠CDA，所以△ACD∽△BAD，
所以$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$，
又因为AB=AD，所以∠B=∠ADB=30°，
Rt△BAC中，$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是弦切角，三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．