Question

17．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PA=AD，点E为AB中点，点F在线段PD上，且PF：FD=1：3．
（1）证明平面PED⊥平面FAB；
（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，推导出△ADB为等边三角形，从而AB⊥DE，由线面垂直得AB⊥PD，由此能证明AB⊥面PED，从而平面PED⊥平面FAB．
（2）由线面垂直得AB⊥PE，连结EF，则AB⊥PE，∠PEF为二面角P-AB-F的平面角，由此能求出二面角P-AB-F的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）连结BD，
∵AB=AD，∠DAB=60°，∴△ADB为等边三角形，
∵E是AB中点，∴AB⊥DE，
∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴AB⊥PD，
∵DE?面PED，PD?面PED，DE∩PD=D，
∴AB⊥面PED，
∵AB?平面FAB，∴平面PED⊥平面FAB．
解：（2）∵AB⊥平面PED，PE?面PED，∴AB⊥PE，
连结EF，∵EF?面PED，∴AB⊥PE，
∴∠PEF为二面角P-AB-F的平面角，
设AD=4，则PF=1，FD=3，DE=2$\sqrt{3}$，
在△PEF中，PE=2$\sqrt{7}$，EF=$\sqrt{21}$，PF=1，
∴cos∠PEF=$\frac{（2\sqrt{7}）^{2}+（\sqrt{21}）^{2}-{1}^{2}}{2×2\sqrt{7}×\sqrt{21}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值为$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．