Question

7．在同一直角坐标系中，圆锥曲线C通过伸缩变换φ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$变成曲线x²+y²=1，则曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由伸缩变换φ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$，变成曲线x²+y²=1，可得曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，即可得出离心率．

解答 解：由伸缩变换φ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$，变成曲线x²+y²=1，
可得曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
则曲线C的离心率=$\sqrt{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了坐标变换、椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．