Question

已知椭圆和直线，若双曲线N的一条渐近线为l₁，其焦点与M的焦点相同．
（1）求双曲线N的方程；
（2）设直线l₂过点P（0，4），且与双曲线N相交于A，B两点，与x轴交于点Q（Q与双曲线N的顶点不重合），若，求直线l₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，设双曲线N的方程为：，根据椭圆与双曲线的焦点相同，可求双曲线N的方程；
（2）由题意可知直线l₂的斜率存在且不可能为0，设直线l₂：x=m（y-4），与双曲线方程联立，消去x可得：（3m²-1）y²-24m²y+48m²-3=0，进而可得②，③，根据，可得（4m，-4）=λ₁（x₁-4m，y₁）=λ₂（x₂-4m，y₂），利用，即可求得直线l₂的方程．
解答：解：（1）由题意，设双曲线N的方程为：
∵椭圆的焦点为（-2，0），（2，0）
∴双曲线N：的焦点为（-2，0），（2，0）
∴λ+3λ=4
∴λ=1
∴双曲线N的方程为：
（2）由题意可知直线l₂的斜率存在且不可能为0，设直线l₂：x=m（y-4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴Q（4m，0）
联立方程，消去x可得：（3m²-1）y²-24m²y+48m²-3=0
∴3m²-1≠0，△=576m⁴-4（3m²-1）（48m²-3）＞0①
②，③
∵，
∴（4m，-4）=λ₁（x₁-4m，y₁）=λ₂（x₂-4m，y₂）
∴-4=λ₁y₁=λ₂y₂
∴
∴④
由②③④可得：且满足①式
∴直线l₂的方程为2x-y+4=0或2x+y-4=0
点评：本题以椭圆方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是联立方程，进而利用向量知识进行转化．