Question

19．以T=4为周期的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{λ\sqrt{1-{x}^{2}}（x∈（-1，1]）}\\{3-3|x-2|（x∈（1，3]）}\end{array}\right.$（其中λ＞0），若方程f（x）=x恰有5个实数解，则λ的取值范围是（　　）

• A． （4，8）
• B． （4，3$\sqrt{7}$）
• C． （$\sqrt{15}$，3$\sqrt{7}$）
• D． （$\sqrt{15}$，8）

Answer 1

分析 根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=x与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆无公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得λ的范围

解答 解：∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x²+$\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}$=1（y≥0），
∴实质上为一个半椭圆，
当x∈（1，3]时，f（x）=3-3|x-2|是一段折线，
其图象如图所示，

同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，
由图易知直线y=x与第二个半椭圆（x-4）²+$\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}$=1（y≥0）相交，
但与第三个半椭圆（x-8）²+$\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}$=1无公共点时，方程恰有5个实数解，
将y=x代入（x-4）²+$\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}$=1 （y≥0）得，
（1+$\frac{1}{{λ}^{2}}$）x²-8x+15=0，由△=64-60 （1+$\frac{1}{{λ}^{2}}$）＞0，得λ²＞15，且λ＞0得λ＞$\sqrt{15}$，
将y=x代入（x-8）²+$\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}$=1（y≥0）得，
（1+$\frac{1}{{λ}^{2}}$）x²-16x+63=0，由△=256-252 （1+$\frac{1}{{λ}^{2}}$）＜0，得λ²＜63，且λ＞0得：0＜λ＜$3\sqrt{7}$，
综上可知m∈（$\sqrt{15}$，3$\sqrt{7}$）
故选：C

点评 本题主要考查了函数的周期性．采用了数形结合的方法，很直观．