Question

己知曲线与x袖交于A，B两点，点P为x轴上方的一个动点，点P与A,B连线的斜率之积为-4

（1）求动点P的轨迹的方程；

（2）过点B的直线与，分别交于点M ,Q（均异于点A，B），若以MQ为直径的圆

经过点A，求AMQ的面积．

 

Answer 1

（1） ；（2）

【解析】

试题分析：（1）由题意得，设动点，由已知条件列方程得，且点P为x轴上方的一个动点，故，从而轨迹的方程为；(Il)直线和圆锥曲线的综合问题要注意挖掘已知条件，善于利用韦达定理确定参数的值，本题可设直线的方程为，分别于的方程联立，且必然是方程的一个根，利用韦达定理可表示得点M ,Q的坐标，利用AM⊥AQ列方程求参数的值，从而求得M ,Q的坐标，进而求AMQ的面积．

试题解析：(1)不妨设点在点左侧，则

设，则

整理得：

所以动点的轨迹C2的方程为 5分

没有y的范围扣1分

(2)由(1)知，上半椭圆C2的方程为．

易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，

代入C2的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0．(*)

设点M的坐标为(xP，yP)，

∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．

由求根公式，得xM＝，从而yM＝，

∴点M的坐标为． 7分

同理，由

得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．

由题意可知AM⊥AQ，且．

∴，即 [k－4(k＋2)]＝0，

∵k≠0，

∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－． 10分

∴

∴

所以的面积为． 12分

考点：1、轨迹方程；2、直线和圆锥曲线的位置关系．