Question

16．已知函数f（x）的定义域为[m，n]，若存在k∈N^*，使得函数f（x）的值域为[km，kn]，则称函数f（x）为“k-倍乘函数”．
（1）请判断函数f（x）=2x，x∈[1，2]是否是“2-倍乘函数”；
（2）已知函数g（x）=x²，问是否存在k∈N^*，使g（x）在[2，4]上为“k-倍乘函数”；
（3）已知函数h（x）=-x²+4在区间[m，n]上为“2-倍乘函数”，求实数m，n的值．

Answer 1

分析 （1）（2）由题意：根据新定义的特征求解．定义域为[m，n]，k∈N^*，求其值域为[km，kn]，即可求判断．
（3）h（x）=-x²+4在区间[m，n]上为“2-倍乘函数”，即k=2，求值值域，根据新定义，值域相等求出实数m，n的值．

解答 解（1）由题意：根据新定义的特征：定义域为[m，n]，k∈N^*，其值域为[km，kn]；
函数f（x）=2x，是增函数，当x∈[1，2]时，值域为[2，4]，存在k=2时，满足新定义．∴该函数是“2-倍乘函数”；
（2）函数g（x）=x²，可知x∈（-∞，0）单调递减，在x∈（0，+∞）单调递递增，当x在[2，4]上时是增函数，其值域为[4，16]，根据根据新定义的特征，$\frac{4}{2}≠\frac{16}{4}$，不存在k∈N^*，使g（x）在上为“k-倍乘函数”；
（3）已知函数h（x）=-x²+4，在区间[m，n]上，根据根据新定义的特征
可得：值域为[-m²+4，-n²+4]，
函数是“2-倍乘函数”，即k=2，
则有：$\left\{\begin{array}{l}{2m=-{m}^{2}+4}\\{2n=-{n}^{2}+4}\end{array}\right.$
解得：$m=±\sqrt{5}-1$，$n=±\sqrt{5}-1$
∵m＜n．
故得实数m=$-\sqrt{5}-1$，n=$\sqrt{5}-1$．

点评 本题主要考查函数值域的求法，新定义的理解，读懂题意，看懂关系．是一道中档题；