Question

8．某中学高三（10）班女同学有45名，男同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名男同学的概率；
（3）实验结束后，第一次做实验的同学A与第二次做实验的同学B得到的实验数据的茎叶图如图所示，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知某同学被抽到的概率p=$\frac{1}{15}$，由此能求出课外兴趣小组中男、女同学的人数．
（2）把3名女同学和1名男同学分别记为a₁，a₂，a₃，b，由此利用列举法能求出选出的两名同学中恰有一名男同学的概率．
（3）由题意分别求出第一次做实验的同学A与第二次做实验的同学B得到的实验数据的平均数和方差，由$\overline{{x}_{A}}$=$\overline{{x}_{B}}$，${{S}_{A}}^{2}＞{{S}_{B}}^{2}$，得到第二次做实验的同学B的实验更稳定．

解答 解：（1）由题意知某同学被抽到的概率p=$\frac{4}{60}=\frac{1}{15}$，
设课外兴趣小组中女同学的人数为x，
则$\frac{45}{60}=\frac{x}{4}$，解得x=3，
∴课外兴趣小组中男同学的人数为4-3=1人，
故课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为1人和3人．
（2）把3名女同学和1名男同学分别记为a₁，a₂，a₃，b，
则选取两名同学的可能结果有：
（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，b），（a₂，a₁），（a₂，a₃），（a₂，b），（a₃，a₁），（a₃，a₂），（a₃，b），（b，a₁），（b，a₂），（b，a₃），共12个，
其中恰有一名男同学的有：（a₁，b），（a₂，b），（a₃，b），（b，a₁），（b，a₂），（b，a₃），共6个，
∴选出的两名同学中恰有一名男同学的概率p=$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$．
（3）由题意知$\overline{{x}_{A}}$=$\frac{68+70+71+72+74}{5}$=71，
$\overline{{x}_{B}}$=$\frac{69+70+70+72+74}{5}$=71，
∴${{S}_{A}}^{2}=\frac{1}{5}$[（68-71）²+（70-71）²+（71-71）²+（72-71）²+（74-71）²]=4，
${{S}_{B}}^{2}$=$\frac{1}{5}$[（69-71）²+（70-71）²+（70-71）²+（72-71）²+（74-71）²]=3.2，
∵$\overline{{x}_{A}}$=$\overline{{x}_{B}}$，${{S}_{A}}^{2}＞{{S}_{B}}^{2}$，
∴第二次做实验的同学B的实验更稳定．

点评 本题考查概率的求法，考查方差的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法和分层抽样的性质的合理运用．