Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=12，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n=1时，求出a₁=1，当n≥2时，由S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1两式作差相减得a_n=2a_n-1，从而得到{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出a_n=2^n-1．
（Ⅱ）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项式式及等比数列的性质列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-1，①
∴当n=1时，S₁=a₁=2a₁-1，解得a₁=1，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-1，②
①-②，得：a_n=2a_n-2a_n-1，
整理，得a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1．
（Ⅱ）由已知得

3b1+3d=12 (2+b1+d)2=(1+b1)(4+b1+2d)

，
解得

b1=3 d=1

或

b1=8 d=-4

，（舍）
∴T_n=3n+

n(n-1)

2

×1=

n2+5n

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．