Question

17．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，A、B$，分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA的斜率为$\frac{{1±\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得a=2b，椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，整理得：$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，则tanα=$\frac{y}{x+a}$，tanβ=$\frac{y}{x-a}$，tanα•tanβ=$\frac{y}{x+a}$•$\frac{y}{x-a}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，由tanα+tanβ=1，tanα，tanβ是方程x²-x-$\frac{1}{4}$=0的两个根，x=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，则tanα=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，即可求得直线PA的斜率．

解答 解：由题意可知：A（-a，0），B（a，0），P（x，y），
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
整理得：a=2b，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，
∴y²=$\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{4}$，则$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，
∴k_PA=tanα=$\frac{y}{x+a}$，k_PB=tanβ=$\frac{y}{x-a}$，
∴tanα•tanβ=$\frac{y}{x+a}$•$\frac{y}{x-a}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，
∴tanα，tanβ是方程x²-x-$\frac{1}{4}$=0的两个根，
解得：x=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，
∴直线PA的斜率k_PA=tanα=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线的斜率公式，直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题．