Question

5．已知抛物线C：y=$\frac{1}{2}$x²，过点Q（1，1）的动直线与抛物线C交于不同的两点A，B，分别以A，B为切点作抛物线的切线l₁，l₂，直线l₁，l₂交于点P
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）求△PAB面积的最小值，并求出此时直线AB的方程．

Answer 1

分析 （I）设A，B点坐标，求出l₁，l₂的方程，联立方程组解出P点坐标，再使用直线AB的点斜式方程得出P点坐标，得出P的轨迹的参数方程，转化为普通方程．
（II）求出|AB|及P到直线AB的距离，代入面积公式得出面积关于直线AB的斜率k的函数，得出函数的最小值．

解答 解：（I）设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$），以A为切点的切线为y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$=x₁（x-x₁），整理得：y=x₁x-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$．
同理：以B为切点的切线为：y=x₂x-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}_{1}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}}\\{y={x}_{2}x-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{{x}_{1}}_{\;}{x}_{2}}{2}$）．
不妨设直线AB的方程为y-1=k（x-1），
 联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x-1）}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$得：x²-2kx+2k-2=0，
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=2k-2，
∴P（k，k-1），
∴点P的轨迹方程为y=x-1．
（II）由（1）知：|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{{k}^{2}-2k+2}$．
P（k，k-1）到直线AB的距离为：d=$\frac{|{k}^{2}-2k+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\sqrt{（{k}^{2}-2k+2）^{3}}$=$\sqrt{[（k-1）^{2}+1]^{3}}$．
∴k=1时，S取得最小值1，此时直线AB的方程为y=x．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，属于中档题．