Question

17．如图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分图象．
（1）求函数解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若方程f（x）=m在$[{-\frac{π}{2}，0}]$上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知图象求出振幅、周期和相位，对的解析式；
（2）由（1）的解析式，结合正弦函数的性质求单调增区间；
（3）利用数形结合求满足条件的m的范围．

解答 解：（1）由题中的图象知，A=2，$\frac{T}{4}=\frac{π}{3}-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}$，即T=π，所以$ω=\frac{2π}{T}=2$，
根据五点作图法，令$2×\frac{π}{12}+φ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得到$φ=\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$，
因为$|φ|＜\frac{π}{2}$，所以$φ=\frac{π}{3}$，
解析式为$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．…（5分）
（2）令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为[k$π-\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{π}{12}$]，k∈Z．…（9分）
（3）由$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$在$[-\frac{π}{2}，0]$上的图象如图知，当$m∈（-2，-\sqrt{3}]$上有两个不同的实根．…（12分）

点评 本题考查了由三角函数图象求解析式以及利用正弦函数的性质求单调区间以及数形结合求参数范围；熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键；属于中档题