Question

一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为．

① ② ③ ④

（1）求出，，，的值；

（2）利用归纳推理，归纳出与的关系式；

（3）猜想的表达式，并写出推导过程．

 

Answer 1

（1）,,,；（2）；（3）猜想

【解析】

试题分析：（1）先观察图形，得出的值，从中得出的关系；（2）归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，所得的推理不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法；（3）数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，再由递推关系求数列的通项公式，常用方法有：一是求出数列的前几项，再归纳总结出数列的一个通项公式；二是将已知递推关系式整理、变形，变成等差数列或者等比数列，或用累加法，累乘法，迭代法求通项．

试题解析：【解析】
（1）图①中只有一个小正方形，得；

图②中有3层，以第3层为对称轴，有1+3+1=5个小正方形，得；

图③中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+1=13个小正方形，得；

图④中有7层，以第4层为对称轴，有1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形，得；

图⑤中有9层，以第5层为对称轴，有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41个小正方形，；

（2）

的关系式为：

（3）猜想的表达式为

由（2）可知

将上述个子相加，得

解得

的表达式．

考点：（1）归纳推理的应用;（2）迭代法求和．