Question

7．如图，长宽高分别为a、b、c的长方体的六条面对角线组成等腰四面体ABCD．
（1）求证等腰四面体ABCD的每个面都是锐角三角形；
（2）求等腰四面体的体积及其外接球的表面积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，即可证明；
（2）利用割补法求体积，求出外接球半径，即可求出外接球的表面积．

解答 （1）证明：易知四个面是全等的三角形．
三边长分别为$x=\sqrt{{b^2}+{c^2}}$，$y=\sqrt{{c^2}+{a^2}}$，$z=\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，
不妨设a≤b≤c，则最大边x所对角θ 的余弦值$cosθ=\frac{{{y^2}+{z^2}-{x^2}}}{2yz}=\frac{a^2}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}\sqrt{{c^2}+{a^2}}}}＞0$
∴θ 为锐角，
∴三角形为锐角三角形．（4分）
（2）解：体积$V=abc-4×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}abc=\frac{1}{3}abc$（7分）
外接球半径$R=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}\sqrt{{a^2}+{b^2}+{c^2}}$
外接球的表面积S=4πR²=π（a²+b²+c²）．（10分）

点评 本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．