Question

1．（1）已知函数f（x）=2x+$\frac{1}{x}$（x＞0），证明函数f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）记函数g（x）=a^|x|+2a^x（a＞1）
①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；
②若x∈[-1，+∞），求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）①将a=4带入g（x），通过讨论x的正负，去掉绝对值号，解方程即可；②通过讨论x的范围，求出g（x）的单调性，从而求出g（x）的值域即可．

解答 （1）证明：设x₁，x₂是区间（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）（{{2x}_{1}x}_{2}-1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
因为0＜x₁＜x₂＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜$\frac{1}{2}$，故2x₁x₂-1＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上单调递减，
函数f（x）的单调递增区间为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．
（2）解：①当a=4时，4^|x|+2•4^x=3，
（ⅰ）当x≥0时，4^x+2•4^x=3，即4^x=1，所以x=0；
（ⅱ）当x＜0时，4^-x+2•4^x=3，
即2•（4^x）²-3•4^x+1=0，
解得：4^x=1或4^x=$\frac{1}{2}$，
所以x=-$\frac{1}{2}$或0（舍去）；
综上所述，方程g（x）=3的解为x=0或x=-$\frac{1}{2}$；
②（ⅰ）当x≥0时，g（x）=3a^x，其中a＞1，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）_min=g（0）=3，
所以g（x）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；
（ⅱ）当x∈[-1，0）时，g（x）=a^-x+2a^x，其中a＞1，
令t=a^x，则t∈[$\frac{1}{a}$，1），g（x）=2t+$\frac{1}{t}$=f（t），
（ⅰ）若1＜a≤$\sqrt{2}$，则$\frac{1}{a}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
据（1）可知，f（t）=2t+$\frac{1}{t}$在[$\frac{1}{a}$，1）上单调递增，
所以f（$\frac{1}{a}$）≤f（t）＜f（1），且f（$\frac{1}{a}$）=a+$\frac{2}{a}$，f（1）=3，
此时，g（x）在[-1，0）上的值域为[a+$\frac{2}{a}$，3）；
（ⅱ）若a＞$\sqrt{2}$，则$\frac{1}{a}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
据（1）可知，f（t）=2t+$\frac{1}{t}$在[$\frac{1}{a}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上单调递减，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）上单调递增，
所以f（t）_min=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2$\sqrt{2}$，又f（$\frac{1}{a}$）=a+$\frac{2}{a}$，f（1）=3，
当f（$\frac{1}{a}$）≥f（1）时，g（x）在[-1，0）上的值域为[2$\sqrt{2}$，a+$\frac{2}{a}$]，
当f（$\frac{1}{a}$）＜f（1）时，g（x）在[-1，0）上的值域为[2$\sqrt{2}$，3）；
综上所述，当1＜a≤$\sqrt{2}$时，函数g（x）在[-1，+∞）上的值域为[a+$\frac{2}{a}$，+∞；
当a＞$\sqrt{2}$时，函数g（x）在[-1，+∞）上的值域为[2$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数单调性的证明，考查函数的单调性求函数的值域问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．