Question

16．如图1，在平行四边形ABB₁A₁中，∠ABB₁=60°，AB=4，AA₁=2，C，C₁分别为AB，A₁B₁的中点，现把平行四边形ABB₁A₁沿CC₁折起如图2所示，连接B₁C，B₁A，B₁A₁．
（1）求证：AB₁⊥CC₁；
（2）若AB₁=$\sqrt{6}$，求二面角C-AB₁-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理，证明C₁C⊥平面OAB₁；
（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C-AB₁-A₁B的余弦值．

解答 证明：（1）取CC₁的中点O，连接OA，OB₁，AC₁，
∵在平行四边形ABB₁A₁中，∠ABB₁=60°，AB=4，AA₁=2，C，C₁分别为AB，A₁B₁的中点，
∴△ACC₁，△B₁CC₁，为正三角形，
则AO⊥CC₁，OB₁⊥C₁C，又∵AO∩OB₁=O，
∴C₁C⊥平面OAB₁，
∵AB₁?平面OAB₁
∴AB₁⊥CC₁；
（2）∵∠ABB₁=60°，AB=4，AA₁=2，C，C₁分别为AB，A₁B₁的中点，
∴AC=2，OA=$\sqrt{3}$，OB₁=$\sqrt{3}$，
若AB₁=$\sqrt{6}$，
则OA²+OB₁²=AB₁²，
则三角形AOB₁为直角三角形，
则AO⊥OB₁，
以O为原点，以0C，0B₁，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则C（1，0，0），B₁（0，$\sqrt{3}$，0），C₁（-1，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），
则$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-2，0，0），
则$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），
设平面AB₁C的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则y=1，x=-$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，1），
设平面A₁B₁A的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=-2x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则x=0，y=1，即$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{0+1+1}{\sqrt{3+1+1}•\sqrt{1+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
由于二面角C-AB₁-A₁是钝二面角，
∴二面角C-AB₁-A₁的余弦值是-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题综合考查空间中线线垂直和空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．