Question

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为.

(1)求抛物线C的方程；

(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

（1）x2＝2y （2）存在，M(，1)

【解析】(1)依题意知F(0，)，圆心Q在线段OF的垂直平分线y＝上，

因为抛物线C的准线方程为y＝－，

所以＝，即p＝1.

因此抛物线C的方程为x2＝2y.

(2)假设存在点M(x0，)(x0>0)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为y′|x＝x0＝()′|x＝x0＝x0，

所以直线MQ的方程为y－＝x0(x－x0)．

令y＝得xQ＝＋，

所以Q(＋，)．

又|QM|＝|OQ|，

故(－)2＋(－)2＝(＋)2＋，

因此(－)2＝.

又x0>0，所以x0＝，此时M(，1)．

故存在点M(，1)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M.