Question

10．设等比数列{a_n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S_n，若对?x∈N⁺，有$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5，则q的取值范围是（　　）

• A． （0，1]
• B． （1，2）
• C． [1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，2）

Answer 1

分析 需要分类讨论：q=1、q＞1、0＜q＜1等情况，结合等比数列的前n项和公式列出不等式，并解答．

解答 解：当q=1时，S_2n=2S_n＜5S_n，即$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5成立；
当q≠1时，∵等比数列{a_n}的各项均为正数，$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5，
∴S_2n＜5S_n，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$＜5×$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
∴qⁿ＜4．
当q＞1时，n＜log_n⁴对?x∈N⁺恒成立，则log_n⁴＞n_max，故舍去；
当0＜q＜1时，n＞log_n⁴对?x∈N⁺恒成立，
∴log_n⁴＜n_min，
∴log_n⁴＜1，即0＜q＜4，
又0＜q＜1，
∴0＜q＜1．
综上所述，0＜q≤1．
故选：A．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查学生的计算能力，注意“分类讨论”数学思想的应用．