Question

3．（1）已知正数x，y满足x+2y=1，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值
（2）已知x＞1，求：y=x+$\frac{4}{x-1}$最小值，并求相应的x值．

Answer 1

分析 （1）由正数x，y满足x+2y=1，可得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（x+2y）$（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）$=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$，利用基本不等式的性质即可得出．
（2）由x＞1，变形为y=x+$\frac{4}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+1，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵正数x，y满足x+2y=1，
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（x+2y）$（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）$=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{2y}{x}×\frac{x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\sqrt{2}$y=$\sqrt{2}$-1时取等号．
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．
（2）∵x＞1，
∴y=x+$\frac{4}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）×\frac{4}{x-1}}$+1=5，当且仅当x=3时取等号．
∴x=3时，y=x+$\frac{4}{x-1}$取得最小值5．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．