Question

8．已知函数f（x）=x²-2x|x-a|（其中a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）若y=f（x）在[0，2]上的最小值为-1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出a=1时，f（x）的解析式，讨论x的范围，求得二次函数的值域，进而得到所求；
（2）求出f（x）的分段函数式，讨论a的范围，结合二次函数的单调性，可得最小值，进而得到a的值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-2x|x-1|
=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x（x-1）=-{x^2}+2x=-{{（x-1）}^2}+1，x≥1}\\{{x^2}+2x（x-1）=3{x^2}-2x=3{{（x-\frac{1}{3}）}^2}-\frac{1}{3}，x＜1}\end{array}}\right.$，
当x≥1时，f（x）递减，可得f（x）∈（-∞，1]；
当x＜1时，f（x）∈[-$\frac{1}{3}$，+∞）．
则函数f（x）的值域（-∞，+∞）；
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3{（x-\frac{a}{3}）^2}-{\frac{a}{3}^2}，x＜a\\-{（x-a）^2}+{a^2}，x≥a.\end{array}\right.$，
①当a≤0时，f（x）在（0，2）上为减函数，
故$f{（x）_{min}}=f（2）=-{（2-a）^2}+{a^2}=-1$，
可得$a=\frac{3}{4}$，不符．                          
②当a＞0时，可知f（x）在$（0，\frac{a}{3}），（a，+∞）$上为减函数，在$（\frac{a}{3}，a）$上为增函数．
（i）当$2≤\frac{a}{3}，即a≥6$时，$f{（x）_{min}}=f（2）=-{（2-a）^2}+{a^2}=-1$，得$a=\frac{3}{4}$，不符；
（ii）当$\frac{a}{3}＜2＜a，即2＜a＜6$时，$f{（x）_{min}}=f（\frac{a}{3}）=-\frac{a^2}{3}=-1$，得$a=\sqrt{3}$，不符；
（iii）当a≤2时，$f{（x）_{min}}=f（\frac{a}{3}）=-\frac{a^2}{3}=-1$或$f{（x）_{min}}=f（2）=-{（2-a）^2}+{a^2}=-1$
得$a=\frac{3}{4}$或$a=\sqrt{3}$，符合．
综上所述$a=\frac{3}{4}$或$a=\sqrt{3}$．

点评 本题考查二次函数的值域的求法，注意运用绝对值的意义，以及对称轴和区间的关系，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．