Question

有一种变压器，铁芯的截面是正十字形（如图），为保证所需的磁通量，要求正十字形的面积为4

5

cm2，为了使用来绕铁芯的铜线最省（即正十字形的外接圆周长最短）．应如何设计正十字形的长和宽？

Answer 1

分析：设正十字形宽为xcm，长为ycm，外接圆直径为dcm，正十字形面积为Scm²，根据题意建立l与d的函数关系式，再考虑用基本不等式进行解决．

解答：解：设正十字形宽为xcm，长为ycm，外接圆直径为dcm，正十字形面积为Scm²，
外接圆周长为lcm．则d=

x2+y2

，S=2xy-x²，l=πd
∴d2=x2+(

S+x2

2x

)2=

5

4

x2+

S2

4x2

+

S

2

，要l最小，只需d最小．
∵x＞0，S=4

5

∴d2≥2

5 4 x2• S2 4x2

+

S

2

=10+2

5

，当且仅当

5

4

x2=

S2

4x2

=

(4 5 )2

4x2

即x=2取等号．
此时lmin=π

10+2 5

cm，即应使正十字形铁芯宽为2厘米，长为（

5

+1）厘米．

点评：本题是基本不等式在实际问题中的应用，考查函数思想，建模解模的能力．