Question

12．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow b$|=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=2且（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow c$）•（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$）=0，则|2$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$|的最大值为$\sqrt{7}$+1．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角，建立平面直角坐标系，设$\overrightarrow{a}$=（2，0），则$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），根据数量积的几何意义得出C的轨迹，利用点到圆的最大距离求出|2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的最大值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2，∴cos＜$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=60°．
设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
∵（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$）=0，
∴$\overrightarrow{CA}⊥\overrightarrow{CB}$，∴点C在以AB为直径的圆M上．
其中M（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），半径r=1．
延长OB到D，使得$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{b}$，则D（2，2$\sqrt{3}$）．
∵2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{CD}$，∴|2$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$|的最大值为CD的最大值．
∵DM=$\sqrt{（2-\frac{3}{2}）^{2}+（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴CD的最大值为DM+r=$\sqrt{7}$+1．
故答案为：$\sqrt{7}$+1．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的几何意义，属于中档题．