Question

8．在△ABC中，设$\frac{a}{c}$=$\sqrt{3$-1，$\frac{tanB}{tanC}$=$\frac{2a-c}{c}$，求角A，B，C．

Answer 1

分析 利用同角三角函数基本关系式化简已知等式，整理可得cosB=$\frac{1}{2}$，结合B的范围可求B的值，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos$\frac{A-C}{2}$=cos（$\frac{π}{2}$-C），利用余弦函数的性质即可得解3C-A=π，进而可求C，A的值．

解答 （本题满分为14分）
解：∵由$\frac{tanB}{tanC}=\frac{2a-c}{c}$，得：$\frac{{sinB{cosC}}}{sinCcosB}=\frac{2sinA}{sinC}-1，可得：\frac{sinA}{sinCcosB}=\frac{2sinA}{sinC}$，…（3分）
∴整理解得：$cosB=\frac{1}{2}，可得：B=\frac{π}{3}，可得：A+C=\frac{2π}{3}$．…（6分）
∵$\frac{sinA}{sinC}+1=\sqrt{3}，可得：\frac{{2sin\frac{A+C}{2}cos\frac{A-C}{2}}}{sinC}=\sqrt{3}，解得：cos\frac{A-C}{2}=sinC=cos（{\frac{π}{2}-C}）$，
∴$\frac{A-C}{2}=\frac{π}{2}-C$或$\frac{A-C}{2}=C-\frac{π}{2}$．…（12分）
∴A+C=π，或3C-A=π，
∴当A+C=π时，由于A+C=$\frac{2π}{3}$，矛盾，
∴可得：3C-A=π，结合A+C=$\frac{2π}{3}$，可得：C=$\frac{5π}{12}$，A=$\frac{π}{4}$…（14分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．