题目内容

如图所示，某城市有南北街道和东西街道各n+1条，一邮递员从该城市西北角的邮局A出发，送信到东南角B地，要求所走路程最短．
（1）求该邮递员途径C地的概率f（n）；
（2）求证：2＜[2f（n）]²ⁿ⁺¹＜3，（n∈N^*）．

解：（1）邮递员从该城市西北角的邮局A到达东南角B地，要求所走路程最短共有 $\text{[math]}$ 种不同的走法，其中途径C地的走法有2 $\text{[math]}$ 种走法，
所以邮递员途径C地的概率f（n）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）由2f（n）= $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，得[2f（n）]²ⁿ⁺¹= $\text{[math]}$ ．
要证 n∈N^*时，2＜[2f（n）]²ⁿ⁺¹＜3，
只要证 n∈N^* 时，2＜ $\text{[math]}$ ＜3，
因为 n∈N^* 时，2n+1∈N^*，且 2n+1≥3，
所以只要证 n∈N^* 时，且n≥3 时，2＜ $\text{[math]}$ ＜3．
由于n≥3 时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2，
且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$
=2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
＜2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =3- $\text{[math]}$ ＜3．
综上可得：2＜ $\text{[math]}$ ＜3 成立，即 2＜[2f（n）]²ⁿ⁺¹＜3成立．
分析：（1）求得所走路程最短共有 $\text{[math]}$ 种不同的走法，其中途径C地的走法有2 $\text{[math]}$ 种走法，由此可得邮递员途径C地的概率f（n）的值．
（2）由2f（n）= $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，得只要证且n≥3 时，2＜ $\text{[math]}$ ＜3 即可．利用放缩法证明 2＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＜3，从而证明不等式成立．
点评：本题主要考查排列、组合以及二项式定理的应用，等可能事件的概率，用放缩法证明不等式，属于难题．