题目内容

若曲线f（x）=mx3-lnx存在垂直于y轴的切线，则实数m的取值范围是（　　）
分析：先求函数的导函数f′（x），再将“曲线f（x）=mx3-lnx存在垂直于y轴的切线”转化为f′（x）=0有正解问题，最后利用分离参数法求出参数m的取值范围．
解答：解：∵f′（x）=3mx2-
1
x
  （x＞0）
∵曲线f（x）=mx3-lnx存在垂直于y轴的切线，
∴f′（x）=3mx2-
1
x
=0有正解
即m=
1
3x3
有正解，∵
1
3x3
＞0
∴m＞0
故选A．
点评：本题主要考查了导数的几何意义，转化与化归的思想方法，解决方程根的分布问题的方法，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=x3-2x2+1．
（1）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值；
（2）求曲线f（x）在点（1，0）处切线方程；
（3）若函数g（x）=f（x）-mx在区间[-2，2]上存在递增区间，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=mx+xlnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与直线x+2y=1垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若n（2x-1）＜f（x）对任意x＞
12
恒成立，求实数n的取值范围；
（3）当b＞a＞1时，证明（ab2b）n＞（ba2a）b．
已知函数f（x）=mx+
1x+n
（m，n∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=aln（x-1）（a＞0），若函数F（x）=f（x）+g（x）与x轴有两个交点，求实数a的取值范围．
（2013•泸州一模）已知函数f（x）=x3+mx，g（x）=nx2+n2，F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）在x=l处有极值为10，求曲线F（x）在（0，F（0））处的切线方程；
（Ⅲ）若n2＜3m，不等式F(
1+1nx
x-1
)＞F(
k
x
)对?x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．
若曲线f（x）=
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x3+x2+mx的所有切线中，只有一条与直线x+y-3=0垂直，则实数m的值等于（　　）

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