Question

15．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A₁B=1．
（1）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（2）在棱B₁C₁上确定一点P，使二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AA₁与棱BC所成的角的大小．
（2）P为棱B₁C₁上一点，求出平面PAB的法向量和平面ABA₁的法向量，利用向量法能求出P为棱B₁C₁中点．

解答 解：（1）如图，以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（1，0，0），B（0，1，0），A₁（0，1，1），B₁（0，2，1），
$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（1，-1，0）$，（3分）
∴$cos＜\overrightarrow{A{A_1}}，\overrightarrow{BC}＞=\frac{{\overrightarrow{A{A_1}}•\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{A{A_1}}}||{\overrightarrow{BC}}|}}=\frac{-1}{{\sqrt{2}•\sqrt{2}}}=-\frac{1}{2}$，
故AA₁与棱BC所成的角是$\frac{π}{3}$．
（2）P为棱B₁C₁上一点，设$\overrightarrow{{B_1}P}=λ\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（λ，-λ，0）$，则P（λ，2-λ，1），
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{AP}=（λ，2-λ，1）$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{λx+z=0}\\{y=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{z=-λx}\\{y=0}\end{array}}\right.$，则$\overrightarrow{n_1}=（1，0，-λ）$，（9分）
而平面ABA₁的法向量是$\overrightarrow{n_2}=（1，0，0）$，
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{1}{{\sqrt{1+{λ^2}}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，解得$λ=\frac{1}{2}$，
即P为棱B₁C₁中点，其坐标为$P（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，1）$．（12分）

点评 本题考查异南在线所成角的大小的求法，考查满足条件的眯的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．