Question

如图，F为抛物线y²=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．
（1）求该抛物线的方程；
（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．

Answer 1

分析：（1）如图，设抛物线的准线为l，过P作PB⊥l于B，过A作AC⊥l于C，由抛物线定义知当且仅当A，P，C三点共线取等号．由题意知|AC|=8，从而求得p值，最后写出抛物线的方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x-4），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值的范围，从而解决问题．．

解答：解：（1）设P点到抛物线的准线x=-

p

2

的距离为d，
由抛物线的定义知d=|PF|，
∴（|PA|+|PF|）_min=（|PA|+d）_min=

p

2

+4，
∴

p

2

+4=8⇒p=8，
∴抛物线的方程为y²=16x．…（6分）
（2）由（1）得F（4，0），设直线l的方程为y=k（x-4），显然k≠0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
把直线方程代入抛物线，得k²x²-（8k²+16）x+16k²=0，
x₁+x₂=

8k2+16

k2

，x₁•x₂=16，
∴|MN|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

×

( 8k2+16 k2 )2-64

=

1+k2

×

64k4+256k2+256-64k4

k2

=

1+k2

k2

×16

1+k2

=

16(1+k2)

k2

≥32，
∴k²≤1，即-1≤k≤1，
∴直线l斜率的取值范围为[-1，0）∪（0，1]，
∴直线l倾斜角的取值范围为：（0，

π

4

]∪[

3π

4

，π）       …（13分）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查了学生分析问题和解决问题的能力．当研究直线与圆锥曲线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．