Question

12．已知不等式$\frac{k{x}^{2}+kx+6}{{x}^{2}+x+2}$＞2对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为[2，10）．

Answer 1

分析 将不等式$\frac{k{x}^{2}+kx+6}{{x}^{2}+x+2}$＞2转化为（k-2）x²+（k-2）x+2＞0．分k=2和k≠2两种情况讨论，对于后者利用一元二次不等式的性质可知$\left\{\begin{array}{l}{k-2＞0}\\{△{=（k-2）}^{2}-8（k-2）＜0}\end{array}\right.$，解不等式组即可确定k的取值范围．

解答 解：∵x²+x+2＞0，
∴不等式$\frac{k{x}^{2}+kx+6}{{x}^{2}+x+2}$＞2可转化为：
kx²+kx+6＞2（x²+x+2）．
即（k-2）x²+（k-2）x+2＞0．
当k=2时，不等式恒成立．
当k≠2时，不等式（k-2）x²+（k-2）x+2＞0恒成立，
等价于$\left\{\begin{array}{l}{k-2＞0}\\{△{=（k-2）}^{2}-8（k-2）＜0}\end{array}\right.$，
解得2＜k＜10，
∴实数k的取值范围是[2，10），
故答案为：[2，10）．

点评 本题考查分情况讨论的数学思想以及一元二次不等式性质的应用，属于中档题．