Question

5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式； 
（2）函数g（x）=sinx的图象怎么变换可以得到函数f（x）的图象．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，?＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的简图，分析函数的最值，周期，最大值点，进而可得A，ω，φ的值，进而可得f（x）的解析式；
（2）根据正弦型函数的变换法则，结合（1）中所得的函数解析式，可得变换方式．

解答 （本题满分12分）
解：（1）根据条件得A=1…（1分）
据图$\frac{T}{2}=\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，所以$T=π=\frac{2π}{ω}$，得ω=2…（3分）
于是f（x）=sin（2x+ϕ），又f（x）的图象过点$（\frac{π}{6}，1）$
所以$sin（2×\frac{π}{6}+ϕ）=1$，又$|ϕ|＜\frac{π}{2}$，得$ϕ+\frac{π}{3}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$
得$ϕ+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，所以 $ϕ=\frac{π}{6}$…（5分）
于是$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$…（6分）
（2）解法一：将函数g（x）=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位可得：
y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象，
再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍
可得：$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$的图象；…（12分）
解法二：将函数g（x）=sinx的图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍
可得y=sin2x的图象，
再将y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位可得：
$y=sin2（x+\frac{π}{12}）=sin（2x+\frac{π}{6}）$的图象…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象和性质，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式求法，难度中档．