Question

已知点P(2，－1)．

(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；

(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解　(1)过P点的直线l与原点距离为2，且P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件．

此时l的斜率不存在，其方程为x＝2；

若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，

即kx－y－2k－1＝0.

由已知，得，解得k＝.

此时l的方程为3x－4y－10＝0.

综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得k_lk_OP＝－1，所以k_l＝－＝2.

由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，

即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为

(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．