题目内容
5．己知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin2x+$\frac{1}{2}$（x∈R），（Ⅰ）当x∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}$]时，求函数f（x）的最小值和最大值；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=2，若向量$\overrightarrow m=（{1，a}$）与向量$\overrightarrow n=（{2，b}$）共线，求a，b的值．
分析 （1）函数化一后求值域；（2）三角形中余弦定理的应用求边．
解答 解：（Ⅰ）由题意得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+1$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
当x∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}$]时，2x-$\frac{π}{6}∈[-\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}]$，
∴当2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$即x=$-\frac{π}{6}$时，函数f（x）的最小值 为0；
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$即x=$\frac{π}{6}$时，则f（x）的最大值为$\frac{3}{2}$，
故最大值为$\frac{3}{2}$，最小值为0；
（Ⅱ）由f（C）=2知，$sin（2C-\frac{π}{6}）+1=2$∴$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∵0＜C＜π∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$∴$C=\frac{π}{3}$，
由$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$知，b=2a，
又c2=a2+b2-2abcosC，$c=\sqrt{3}$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}}\right.$．
点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
练习册系列答案
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16．将函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），所得图象的解析式为y=sinx，则ω，φ的值分别为（ ）
| A． | ω=$\frac{1}{2}，φ=\frac{π}{6}$ | B． | $ω=\frac{1}{2}，φ=-\frac{π}{6}$ | C． | $ω=2，φ=\frac{π}{6}$ | D． | $ω=2，φ=-\frac{π}{6}$ |
13．设x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x-y≥-1}\\{3x-y≤3}\end{array}}\right.$，则目标函数z=4x+y的最小值为（ ）
| A． | -1 | B． | 0 | C． | 1 | D． | 2 |
20．某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：
（Ⅰ）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；
（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的概率分布及生产1件芯片甲和1件芯片乙所得总利润的平均值．
| 测试指标 | [70，76） | [76，82） | [82，88） | [88，94） | [94，100] |
| 芯片甲 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
| 芯片乙 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的概率分布及生产1件芯片甲和1件芯片乙所得总利润的平均值．
