Question

20．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$），其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）

• A． $f（x）=cos（2x-\frac{π}{6}）$
• B． $f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$
• C． $f（x）=\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{6}）$
• D． $f（x）=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$

Answer 1

分析 根据已知中函数f′（x）=Aωcos（ωx+ϕ）的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（$\frac{π}{3}$，0）代入解析式，结合|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式．

解答 解：∵f（x）=Asin（ωx+ϕ），
∴f′（x）=Aωcos（ωx+ϕ），
由图可得：函数f′（x）=Aωcos（ωx+ϕ）的最大值ωA=1，
又∵$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$，ω＞0，
∴T=π，ω=2，可得：A=$\frac{1}{2}$，
∴f′（x）=cos（2x+ϕ），
将（$\frac{π}{3}$，0）代入f′（x）=cos（2x+ϕ），得cos（$\frac{2π}{3}$+ϕ）=0，
即$\frac{2π}{3}$+ϕ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即ϕ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，
∴ϕ=-$\frac{π}{6}$，
∴f′（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
故选：D．

点评 本题主要考查的知识点是由函数的部分图象求三角函数解析式的方法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，考查了数形结合思想，属于中档题．