Question

2．已知函数f（x）=2lnx-x²-ax，$g（x）=-alnx+{x^2}+3ax+\frac{1}{x}$，a∈R．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）令h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）将a=0代入，求出f（x）的导数，从而求出函数的极值；
（2）先求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的递减区间．

解答 解：（1）a=0时：f（x）=2lnx-x²，故f′（x）=$\frac{2（1+x）（1-x）}{x}$，（x＞0），
当0＜x＜1时：f′（x）＞0，f（x）递增，
当x＞1时：f′（x）＜0，f（x）递减，
∴x=1时：f（x）取极大值f（1）=-1；
（2）h′（x）=$\frac{（2x-1）（ax+1）}{{x}^{2}}$，令h′（x）=0，解得：x₁=-$\frac{1}{a}$，x₂=$\frac{1}{2}$，
若a≥0，由h′（x）＜0解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，∴h（x）的递减区间是（0，$\frac{1}{2}$），
若a＜0，①a＜-2时，-$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2}$，由h′（x）＜0，解得：0＜x＜-$\frac{1}{a}$或x＞$\frac{1}{2}$，
∴h（x）在（0，-$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）递减；
②a=-2时：总有h′（x）≤0，故h（x）在（0，+∞）递减，
③-2＜a＜0时：-$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{2}$，由h′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞-$\frac{1}{a}$，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
综上：a＜-2时，h（x）在（0，-$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）递减，
a=-2时：h（x）在（0，+∞）递减，
-2＜a＜0时：h（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
a≥0时：h（x）的递减区间是（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值和单调性，考查分类讨论思想，属中档题．