Question

（2012•台州一模）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=S_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的正整数n，ka_n，（k-1）a_n+1，（k-2）a_n+2都成等差数列，求实数k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列是等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用ka_n，（k-1）a_n+1，（k-2）a_n+2都成等差数列，结合数列的通项公式建立等式，即可求实数k的值．

解答：解：（I）当n=1时，a₂=S₁+1=2；       …（2分）
当n≥2时，因为a_n+1-a_n=S_n+1-（S_n-1+1）=a_n，所以a_n+1=2a_n．…（5分）
又a₂=2a₁，所以{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）由题意得2（k-1）a_n+1=ka_n+（k-2）a_n+2，…（10分）
即2（k-1）2ⁿ=k•2^n-1+（k-2）2ⁿ⁺¹，…（12分）
解得k=4．…（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．