Question

18．设f（k）是满足不等式log₂x+log₂（5•2^k-1-x）≥2k（k∈N^*）的自然数x的个数．
（1）求f（k）的函数解析式；
（2）S_n=f（1）+2f（2）+…+nf（n），求S_n．

Answer 1

分析 （1）由原不等式得log₂（5•2^k-1x-x²）≥2k=log₂2^2k，则x²-5•2^k-1x+2^2k≤0，得到x的取值范围后，就能求出f（k）的解析式；
（2）由S_n=f（1）+2f（2）+…+nf（n）=3（1+2•2+…+n•2^n-1）+（1+2+…+n），利用错位相减法、等差数列的求和公式，即可求得结果．

解答 解：（1）由原不等式得log₂（5•2^k-1x-x²）≥2k=log₂2^2k，
则x²-5•2^k-1x+2^2k≤0，
故2^k-1≤x≤4•2^k-1．
∴f（k）=4•2^k-1-2^k-1+1=3•2^k-1+1（k∈N^*）；
（2）kf（k）=3k•2^k-1+k．
S_n=f（1）+2f（2）+…+nf（n）=3（1+2•2+…+n•2^n-1）+（1+2+…+n），
设t=1+2•2+…+n•2^n-1（1）
2t=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ（2）
（1）式减（2）式得-t=1+2+…+2^n-1-n•2ⁿ
∴t=（n-1）•2ⁿ+1
∴${s_n}=3（n-1）•{2^n}+\frac{n（n+1）}{2}+3$．

点评 本题考查对数的运算性质以及利用对数的单调性求解对数不等式，注意对数函数的定义域，和错位相减法、等差数列的求和公式，利用对数函数的单调性解对数不等式，求出函数的解析式是解题的关键，同时考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．