Question

4．设实数数列{a_n}（n∈N^*）是等差数列，且a₁²+a₂²=1，则a₂²+a₃²的取值范围是（　　）

• A． [1，2]
• B． [4-2$\sqrt{3}$，4+2$\sqrt{3}$]
• C． [1，5]
• D． [3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 设等差数列的公差为d，用a₂表示出a₁与a₃，根据题意${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$=$\frac{{{a}_{2}}^{2}{{+a}_{3}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}{{+a}_{2}}^{2}}$=1+$\frac{{4a}_{2}d}{{{2a}_{2}}^{2}-{2a}_{2}d{+d}^{2}}$=1+$\frac{4}{\frac{{2a}_{2}}{d}+\frac{d}{{a}_{2}}-2}$；利用基本不等式求出${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$的取值范围．

解答 解：设等差数列的公差为d，由a₁²+a₂²=1，得${{（a}_{2}-d）}^{2}$+${{a}_{2}}^{2}$=1，
化为：2${{a}_{2}}^{2}$-2a₂d+d²=1；
∴a₂²+a₃²=${{a}_{2}}^{2}$+${{（a}_{2}+d）}^{2}$=2${{a}_{2}}^{2}$+2a₂d+d²；
∴${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$=$\frac{{{a}_{2}}^{2}{{+a}_{3}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}{{+a}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{2a}_{2}}^{2}+{2a}_{2}d{+d}^{2}}{{{2a}_{2}}^{2}-{2a}_{2}d{+d}^{2}}$=1+$\frac{{4a}_{2}d}{{{2a}_{2}}^{2}-{2a}_{2}d{+d}^{2}}$=1+$\frac{4}{\frac{{2a}_{2}}{d}+\frac{d}{{a}_{2}}-2}$；
当$\frac{{a}_{2}}{d}$为正数时，$\frac{{2a}_{2}}{d}$+$\frac{d}{{a}_{2}}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{{2a}_{2}}{d}$=$\frac{d}{{a}_{2}}$时取“=”，
∴${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$≤1+$\frac{4}{2\sqrt{2}-2}$=3+2$\sqrt{2}$；
当$\frac{{a}_{2}}{d}$为负数时，$\frac{{2a}_{2}}{d}$+$\frac{d}{{a}_{2}}$≤-2$\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{{2a}_{2}}{d}$=$\frac{d}{{a}_{2}}$时取“=”，
∴${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$≥1+$\frac{4}{-2\sqrt{2}-2}$=3-2$\sqrt{2}$；
∴${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$的取值范围是[3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$]．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的基本性质与应用问题，也考查了基本不等式求最值的应用问题，是综合性题目．