Question

16．已知a，b，c，d为实数，且a²+b²=4，c²+d²=16，证明ac+bd≤8．

Answer 1

分析 a²+b²=4，c²+d²=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），即可得出．

解答 证明：∵a²+b²=4，c²+d²=16，
令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．
∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α-β）≤8．当且仅当cos（α-β）=1时取等号．
因此ac+bd≤8．
另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）=4×16=64，当且仅当$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$时取等号．
∴-8≤ac+bd≤8．

点评 本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．