Question

1．设{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₃+a₄-a₁-a₂=5，则a₅+a₆的最小值是20．

Answer 1

分析 化简可得（a₂+a₁）（q²-1）=5，从而可得q＞1，a₂+a₁=$\frac{5}{{q}^{2}-1}$，从而化简a₅+a₆=$\frac{5}{-（\frac{1}{{q}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，从而求最小值．

解答 解：∵a₃+a₄-a₁-a₂=5，
∴（a₂+a₁）（q²-1）=5，
∴q＞1，a₂+a₁=$\frac{5}{{q}^{2}-1}$，
故a₅+a₆=（a₂+a₁）q⁴
=$\frac{5}{{q}^{2}-1}$q⁴=$\frac{5}{\frac{1}{{q}^{2}}-\frac{1}{{q}^{4}}}$
=$\frac{5}{-（\frac{1}{{q}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
故当q=$\sqrt{2}$时，有最小值为$\frac{5}{\frac{1}{4}}$=20，
故答案为：20．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了配方法的应用．