Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mln$\sqrt{1+2x}$+mx-2m，m＜0．
（1）当m=-1时，求函数y=f（x）-$\frac{x}{3}$的单调区间；
（2）已知m≤-$\frac{e}{2}$（其中e是自然对数的底数），若存在实数x₀∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{e-1}{2}$]，使f（x₀）＞e+1成立，求m的范围；
（3）证明：$\sum_{k=1}^n{\frac{8k-3}{{3{k^2}}}}$＞ln$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）利用导数的运算法则即可求出其单调区间；
（2）求出f（x）在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{e-1}{2}$]上的最大值，令f（x）_max＞e+1成立即可求出m的范围．
（3）由（1）可知，当m=-1时，函数y=f（x）-$\frac{x}{3}$在区间[-$\frac{1}{6}$，1]上单调递减，所以f（x）-$\frac{x}{3}$＜f（0）．可得$\frac{4}{3}x$-$\frac{1}{2}{x}^{2}$＞ln$\sqrt{1+2x}$．当n∈N^*时，$\frac{1}{n}$∈（0，1]，得$\frac{8}{3n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$＞ln（1+$\frac{2}{n}$），即$\frac{8n-3}{3{n}^{2}}$＞ln$\frac{n+2}{n}$．利用上式即可证得结论．

解答 解：（1）当m=-1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ln$\sqrt{1+2x}$-x+2，∴y=$\frac{1}{2}$x²+ln$\sqrt{1+2x}$-$\frac{4}{3}x$+2．
∵$\sqrt{1+2x}$＞0，∴x≥-$\frac{1}{2}$，∴此函数的定义域为{x|x＞-$\frac{1}{2}$}．
∵y′=x+$\frac{1}{1+2x}$-$\frac{4}{3}$=$\frac{（x-1）（6x+1）}{3（1+2x）}$．
令y′=0，得x=-$\frac{1}{6}$或x=1．
又x＞-$\frac{1}{2}$，当-$\frac{1}{2}$＜x＜-$\frac{1}{6}$，或x＞1时，y′＞0；当-$\frac{1}{6}$＜x＜1时，y′＜0．
∴函数y=f（x）-$\frac{x}{3}$在区间（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{6}$）或（1，+∞）上单调递增；在区间（-$\frac{1}{6}$，1）上单调递减．
（2）∵m≤-$\frac{e}{2}$，∴0＜$\frac{e-1}{2}$≤-m-$\frac{1}{2}$．
∵f′（x）=x-$\frac{m}{1+2x}$+m=$\frac{2x（x+m+\frac{1}{2}）}{1+2x}$，
∴令f′（x）=0解得x₁=0，x₂=-m-$\frac{1}{2}$．
当-$\frac{1}{2}$＜x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x≤$\frac{e-1}{2}$时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（-$\frac{1}{2}$，0）上单调递增；在区间（0，$\frac{e-1}{2}$]上单调递减．
∴f_max（x）=f（0）=-2m，
∵若存在实数x₀∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{e-1}{2}$]，使f（x₀）＞e+1成立，
∴-2m＞e+1，即2m+e+1＜0．
解得m＜-$\frac{e+1}{2}$．
（3）证明：由（1）可知，当m=-1时，函数y=f（x）-$\frac{x}{3}$在区间[-$\frac{1}{6}$，1]上单调递减，
∴函数y=f（x）-$\frac{x}{3}$在（0，1]上为减函数．
又函数y=f（x）-$\frac{x}{3}$在x=0处连续，∴f（x）-$\frac{x}{3}$＜f（0）．
即$\frac{1}{2}$x²+ln$\sqrt{1+2x}$-$\frac{4}{3}x$+2＜2，∴$\frac{1}{2}$x²+ln$\sqrt{1+2x}$-$\frac{4}{3}x$＜0．
∴$\frac{4}{3}x-\frac{1}{2}{x}^{2}$＞ln$\sqrt{1+2x}$．
∴当x∈（0，1]时，有$\frac{8}{3}$x-x²＞2ln$\sqrt{1+2x}$=ln（1+2x）．
当n∈N^*时，$\frac{1}{n}$∈（0，1]，
∴$\frac{8}{3n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$＞ln（1+$\frac{2}{n}$），即$\frac{8n-3}{3{n}^{2}}$＞ln$\frac{n+2}{n}$．
∴$\sum_{k=1}^{n}\frac{8k-3}{3{k}^{2}}$＞ln$\frac{3}{1}$+ln$\frac{4}{2}$+ln$\frac{5}{3}$+ln$\frac{6}{4}$+…+ln$\frac{n+2}{n}$=ln$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
故结论成立．

点评 本题综合考查了利用导数求函数的单调区间、最值及证明不等式，熟练求导和善于转化及利用已证结论是解决问题的关键．