Question

10．①若函数f（x）定义域为R，则g（x）=f（x）-f（-x）是奇函数；
②已知x₁和x₂是函数定义域内的两个值（x₁＜x₂），若f（x₁）＞f（x₂），则f（x）在定义域内单调递减；
③若f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）也是奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数．
以上三个命题中，正确命题是①③．（把所有正确结论的序号都填上）．

Answer 1

分析 直接利用函数奇偶性的概念判断①；举例说明②错误；由奇函数的性质结合周期函数的定义判断③．

解答 解：①若函数f（x）定义域为R，由g（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-g（x），可得g（x）是奇函数，故①正确；
②已知x₁和x₂是函数定义域内的两个值（x₁＜x₂），若f（x₁）＞f（x₂），则f（x）在定义域内单调递减，错误，如y=x²，-3＜2，（-3）²＞2²，但函数y=x²在定义域内不单调；
③若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），又f（x+2）也是奇函数，∴f（-x+2）=-f（x+2）=f（-x-2），以-x-2替换x，得f（x+4）=f（x），则f（x）是以4为周期的周期函数，故③正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了与抽象函数有关的函数的性质的应用，是中档题．