Question

6．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的一点M（2，y₀）到焦点F的距离等于3．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点D（3，0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求△ABF面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义得出M到准线的距离为3，列方程解出p；
（2）设AB方程为x=my+3，与抛物线方程联立方程组得出A，B两点纵坐标的关系，得出△ABF的面积关于m的函数，求出最小值即可．

解答 解：（1）抛物线的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
∴M（2，y₀）到焦点的距离为2+$\frac{p}{2}=3$，
∴p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
（2）设AB的方程为x=my+3．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+3}\end{array}\right.$，得y²-4my-12=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-12．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{16{m}^{2}+48}$．
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}|FD||{y}_{1}|$+$\frac{1}{2}|FD||{y}_{2}|$=|y₁|+|y₂|=|y₁-y₂|=$\sqrt{16{m}^{2}+48}$$≥4\sqrt{3}$．
∴m=0时，S_△ABF取得最小值4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．