Question

20．定义一种运算?：a?b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＜b}\end{array}\right.$已知函数f（x）=2×（sin$\frac{πx}{2}$?cos$\frac{πx}{2}$），且对任意x∈R有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₂-x₁|的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据定义求出函数f（x）的表达式，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由sin$\frac{πx}{2}$=cos$\frac{πx}{2}$，得tan$\frac{πx}{2}$=1，即$\frac{πx}{2}$=kπ+$\frac{π}{4}$，
则x=2k$+\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{2}$+4k≤x≤$\frac{5}{2}$+4k时，sin$\frac{πx}{2}$≥cos$\frac{πx}{2}$，此时f（x）=2sin$\frac{πx}{2}$，
当-$\frac{5}{2}$+4k＜x＜-$\frac{1}{2}$+4k时，sin$\frac{πx}{2}$＜cos$\frac{πx}{2}$，此时f（x）=2cos$\frac{πx}{2}$，
作出函数f（x）的图象如图，
则当x=4k+1或x=4k时，函数f（x）取得最大值2，
当x=4k+$\frac{5}{2}$或x=4k-$\frac{3}{2}$时，函数f（x）取得最小值2sin$\frac{5π}{4}$=-$\sqrt{2}$，
若对任意x∈R有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，
则f（x₂）为最大值，f（x₁）为最小值，
则|x₂-x₁|的最小值为$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 本题主要考查函数图象的应用，根据定义求出函数f（x）的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．